香槟塔
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题目描述
我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）
例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。
现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。
示例 1: 输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1 输出: 0.00000 解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。 示例 2: 输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1 输出: 0.50000 解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。
示例 3:
输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17 输出: 1.00000
提示:
0 <= poured <= 1090 <= query_glass <= query_row < 100
代码结果
运行时间: 52 ms, 内存: 16.0 MB
// Solution in Java using Java Stream (if applicable)
// However, due to the need for a 2D array manipulation, Java Stream is not the most suitable tool for this task.
// Instead, we still use a loop-based approach, as it is more intuitive and efficient for this type of problem.
public class ChampagneTowerStream {
public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
double[][] glasses = new double[101][101];
glasses[0][0] = poured;
for (int row = 0; row <= query_row; row++) {
for (int col = 0; col <= row; col++) {
double overflow = (glasses[row][col] - 1.0) / 2.0;
if (overflow > 0) {
glasses[row + 1][col] += overflow;
glasses[row + 1][col + 1] += overflow;
}
}
}
return Math.min(1, glasses[query_row][query_glass]);
}
}解释
方法:
这个题解使用动态规划的思路来解决香槟塔问题。我们用一个数组 f 来表示每一层的香槟量。初始时 f 只有一个元素，即倾倒的总香槟量 poured。然后我们逐层模拟香槟的流动过程，对于第 i 层的每个玻璃杯 j，如果它的香槟量超过 1，那么会有 (f[j]-1)/2 的香槟溢出到下一层的两个玻璃杯中。这样我们就可以计算出下一层每个玻璃杯中的香槟量。重复这个过程，直到我们到达了查询的目标行 query_row。最后我们返回目标行目标位置的香槟量，如果超过 1 就返回 1。
时间复杂度:
O(query_row^2)
空间复杂度:
O(query_row)
代码细节讲解
🦆
为什么在初始化时只将`poured`赋值给数组`f`的第一个元素，而不是分配到多个杯子中？
▷🦆
在模拟香槟流动的过程中，你是如何确保香槟量正确地从一个层级流到下一个层级的？
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代码中提到如果玻璃杯中的香槟量大于1，才会进行溢出计算，如果刚好等于1怎么处理？
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对于层数非常高的情况，比如`query_row`等于100，这种算法的性能如何？是否存在优化的可能性？
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