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leetcode 2801 ~ 2850
平分正方形

平分正方形

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题目描述

Given two squares on a two-dimensional plane, find a line that would cut these two squares in half. Assume that the top and the bottom sides of the square run parallel to the x-axis.

Each square consists of three values, the coordinate of bottom left corner [X,Y] = [square[0],square[1]], and the side length of the square square[2]. The line will intersect to the two squares in four points. Return the coordinates of two intersection points [X1,Y1] and [X2,Y2] that the forming segment covers the other two intersection points in format of {X1,Y1,X2,Y2}. If X1 != X2, there should be X1 < X2, otherwise there should be Y1 <= Y2.

If there are more than one line that can cut these two squares in half, return the one that has biggest slope (slope of a line parallel to the y-axis is considered as infinity).

Example:

Input: 
square1 = {-1, -1, 2}
square2 = {0, -1, 2}
Output: {-1,0,2,0}
Explanation: y = 0 is the line that can cut these two squares in half.

Note:

  • square.length == 3
  • square[2] > 0

代码结果

运行时间: 20 ms, 内存: 16.2 MB


解释

方法:

首先,计算出每个正方形的中心点坐标。使用这两个中心点来确定一条直线,这条直线将通过两个正方形的中心,从而将每个正方形分割为面积相等的两部分。计算直线的斜率 k = (y2中心 - y1中心) / (x2中心 - x1中心) 和截距 b。使用这个直线方程来计算四个交点:两个交点在第一个正方形的边界上,另外两个在第二个正方形的边界上。这些交点取决于直线的斜率。如果斜率的绝对值在-1到1之间(包括),则交点在水平边界上;如果斜率的绝对值大于1,则交点在垂直边界上。最后,从这四个交点中选出最远的两个点作为最终的答案。

时间复杂度:

O(1)

空间复杂度:

O(1)

代码细节讲解

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在计算直线方程时,当两个正方形中心点的横坐标相同时,你是怎样处理垂直直线情况的?为什么选择这种方式?
当两个正方形中心点的横坐标相同时,这意味着直线是垂直的,斜率是无限大。在这种情况下,无法使用常规的斜率和截距公式来描述这条直线。因此,我选择了直接使用中心点的横坐标作为直线的定义,即 x = 常数。这样,直线方程简化为 x = c1[0],其中 c1[0] 是第一个正方形中心的横坐标。这种处理方式是直接且易于理解的,它能有效地表示垂直直线并且完美地解决了横坐标相同的特殊情况。
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你提到如果斜率的绝对值大于1,则交点在垂直边界上,这种处理方式是基于什么数学原理或逻辑?
这种处理方式基于直线的斜率特性。斜率的绝对值表示直线倾斜的程度。当斜率的绝对值大于1时,这意味着直线在y轴方向上的变化比x轴方向上的变化更快。因此,在每个单位x的变化中,直线在y方向上变化超过1单位。在这种情况下,直线更有可能与正方形的垂直边界(即上下边界)相交,而不是水平边界(即左右边界)。因此,当斜率的绝对值大于1时,计算交点主要集中于垂直边界,这是为了确保正确地捕捉到直线与正方形边界的交点。
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如何确保在计算交点时不会出现计算误差,特别是在使用浮点数进行斜率和截距计算时?
在使用浮点数计算斜率和截距时,确实可能会出现精度误差。为了尽可能减少这种误差,可以采取以下几种方法:1. 使用高精度的浮点数类型(如Python中的`decimal.Decimal`),这可以提供比标准浮点数更精确的计算。2. 在计算过程中尽量避免除法操作,因为除法是引入浮点误差的常见源头。例如,可以直接使用两点式(点斜式)来定义直线,而不是先计算斜率再计算截距。3. 在最终结果输出前,对计算得到的浮点数进行适当的四舍五入,以减少对最终结果的影响。4. 使用图形学中的算法来直接从几何角度计算交点,这样可以绕开对斜率和截距的直接计算,从而减少误差。

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