服务中心的最佳位置
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题目描述
一家快递公司希望在新城市建立新的服务中心。公司统计了该城市所有客户在二维地图上的坐标，并希望能够以此为依据为新的服务中心选址：使服务中心 到所有客户的欧几里得距离的总和最小 。
给你一个数组 positions ，其中 positions[i] = [xi, yi] 表示第 i 个客户在二维地图上的位置，返回到所有客户的 欧几里得距离的最小总和 。
换句话说，请你为服务中心选址，该位置的坐标 [xcentre, ycentre] 需要使下面的公式取到最小值：
与真实值误差在 10-5之内的答案将被视作正确答案。
示例 1：
输入：positions = [[0,1],[1,0],[1,2],[2,1]] 输出：4.00000 解释：如图所示，你可以选 [xcentre, ycentre] = [1, 1] 作为新中心的位置，这样一来到每个客户的距离就都是 1，所有距离之和为 4 ，这也是可以找到的最小值。
示例 2：
输入：positions = [[1,1],[3,3]] 输出：2.82843 解释：欧几里得距离可能的最小总和为 sqrt(2) + sqrt(2) = 2.82843
提示：
1 <= positions.length <= 50positions[i].length == 20 <= xi, yi <= 100
代码结果
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/*
思路：
使用Java Stream API解决这个问题稍微有点棘手，因为Stream更适合处理无状态的操作。
不过，我们仍然可以通过拆分一些计算步骤来实现梯度下降法。
*/
import java.util.stream.IntStream;
public class Solution {
public double getMinDistSum(int[][] positions) {
double x = IntStream.range(0, positions.length).mapToDouble(i -> positions[i][0]).average().orElse(0.0);
double y = IntStream.range(0, positions.length).mapToDouble(i -> positions[i][1]).average().orElse(0.0);
double learningRate = 0.1;
double precision = 1e-7;
double diff = Double.MAX_VALUE;
while (diff > precision) {
double gradX = 0.0, gradY = 0.0;
for (int[] pos : positions) {
double d = Math.sqrt((x - pos[0]) * (x - pos[0]) + (y - pos[1]) * (y - pos[1]));
if (d != 0) {
gradX += (x - pos[0]) / d;
gradY += (y - pos[1]) / d;
}
}
double newX = x - learningRate * gradX;
double newY = y - learningRate * gradY;
diff = Math.sqrt((newX - x) * (newX - x) + (newY - y) * (newY - y));
x = newX;
y = newY;
}
double result = 0.0;
for (int[] pos : positions) {
result += Math.sqrt((x - pos[0]) * (x - pos[0]) + (y - pos[1]) * (y - pos[1]));
}
return result;
}
}解释
方法:
题解采用了Weiszfeld算法来解决此问题，这是一种用于寻找一组点的几何中心（Fermat点）的有效方法，即最小化给定点到一个未知点的距离总和。算法流程如下：1. 初始化中心点为所有点坐标的算术平均值。2. 使用迭代方式，基于加权平均来调整中心点位置，权重为每个点到当前中心的逆距离。3. 检查新中心与旧中心的距离，若变化非常小则认为已收敛，结束迭代。4. 返回中心点到所有位置的欧几里得距离之和。
时间复杂度:
O(kn)，其中n是位置数，k是迭代次数
空间复杂度:
O(n)，其中n是输入位置的数量
代码细节讲解
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Weiszfeld算法在迭代过程中若中心点恰好与某个点坐标完全相同，为什么会直接返回这个点作为解？
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在计算新的中心点时，为何选择使用每个点到当前中心的距离的逆作为权重，而不是其他可能的权重定义（如距离的平方的逆）？
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迭代更新中心点时，设置的收敛阈值为1e-7是如何确定的？这个值对算法的精度和收敛速度有何影响？
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算法中提到最大迭代次数为1000次，这个限制是否基于特定的理论分析，还是经验值？如果迭代次数未达到收敛条件应如何处理？
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