leetcode
leetcode 351 ~ 400
等差数列划分

等差数列划分

难度:

标签:

题目描述

如果一个数列 至少有三个元素 ,并且任意两个相邻元素之差相同,则称该数列为等差数列。

  • 例如,[1,3,5,7,9][7,7,7,7][3,-1,-5,-9] 都是等差数列。

给你一个整数数组 nums ,返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。

子数组 是数组中的一个连续序列。

 

示例 1:

输入:nums = [1,2,3,4]
输出:3
解释:nums 中有三个子等差数组:[1, 2, 3]、[2, 3, 4] 和 [1,2,3,4] 自身。

示例 2:

输入:nums = [1]
输出:0

 

提示:

  • 1 <= nums.length <= 5000
  • -1000 <= nums[i] <= 1000

代码结果

运行时间: 24 ms, 内存: 16.3 MB


/*
 * Problem Statement:
 * An arithmetic sequence is defined as a sequence of at least three elements where the difference between consecutive elements is constant.
 * Given an integer array nums, return the number of all the arithmetic subarrays of nums.
 * A subarray is a contiguous subsequence of the array.
 * 
 * Approach using Java Streams:
 * 1. Initialize a variable to store the count of arithmetic subarrays.
 * 2. Use IntStream to iterate through the array and find all subarrays with at least 3 elements.
 * 3. For each subarray, check if it forms an arithmetic sequence by comparing the difference between consecutive elements.
 * 4. Count all valid arithmetic subarrays.
 */
 
import java.util.stream.IntStream;
 
public class ArithmeticSubarraysStream {
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
        int[] count = {0};
        IntStream.range(0, nums.length - 2).forEach(i -> {
            int diff = nums[i + 1] - nums[i];
            IntStream.range(i + 2, nums.length).takeWhile(j -> nums[j] - nums[j - 1] == diff).forEach(j -> count[0]++);
        });
        return count[0];
    }
}
 

解释

方法:

这个题解使用动态规划来解决问题。定义状态 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的等差数列的个数。当 nums[i-1] * 2 == nums[i] + nums[i-2] 时,说明 nums[i-2], nums[i-1], nums[i] 构成等差数列,此时 dp[i] = dp[i-1] + 1,即在前一个状态的基础上再加上 nums[i]。最后对 dp 数组求和即可得到所有的等差数列个数。

时间复杂度:

O(n)

空间复杂度:

O(n)

代码细节讲解

🦆
在动态规划中定义的状态 dp[i] 代表什么意义,为什么它能够帮助解决问题?
在这个动态规划问题中,dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的等差数列片段的数量。这个定义帮助我们只关注以当前元素结尾的等差数列情况,而不需要从头到尾重新考虑所有可能的等差数列。通过分解问题为小规模的子问题,我们可以通过前一个状态(dp[i-1])来推导出当前状态(dp[i]),这样可以有效地利用之前的计算结果,避免重复工作。
🦆
状态转移方程 dp[i] = dp[i-1] + 1 是如何得来的,它背后的逻辑是什么?
状态转移方程 dp[i] = dp[i-1] + 1 是基于等差数列的性质得来的。当 nums[i-2], nums[i-1], nums[i] 构成一个等差数列时,以 nums[i-1] 结尾的等差数列片段可以通过添加 nums[i] 来扩展,形成一个新的等差数列片段。因此,新的等差数列片段的数量至少是 dp[i-1] 加上新形成的片段。这里 '+1' 表示的就是新增的由这三个数字构成的等差数列片段。
🦆
这种动态规划方法为什么从下标2开始遍历数组,从下标0或1开始会有什么问题?
这种方法从下标2开始遍历数组是因为构成等差数列至少需要3个数字。若从下标0或1开始,我们无法检查前两个元素是否形成等差数列,因为等差数列的定义至少涉及到三个数。因此,从下标2开始是为了确保每次检查时,都有足够的元素来判断是否形成等差数列。
🦆
题解中提到当 nums[i-1] * 2 == nums[i] + nums[i-2] 时才进行状态更新,这个条件是如何确保子数组确实是等差数列的?
这个条件是基于等差数列的定义来的,即序列中任何连续的三个数,第二个数是第一个数和第三个数的算术平均。当 nums[i-1] * 2 == nums[i] + nums[i-2] 成立时,意味着 nums[i-1] 等于 nums[i-2] 和 nums[i] 的平均值,这保证了 nums[i-2], nums[i-1], 和 nums[i] 形成等差数列。因此,这个条件是检验和确认子数组是否为等差数列的一个正确和有效的方法。

相关问题

等差数列划分 II - 子序列

给你一个整数数组 nums ,返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ,并且任意两个相邻元素之差相同,则称该序列为等差序列。

  • 例如,[1, 3, 5, 7, 9][7, 7, 7, 7][3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
  • 再例如,[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素(也可能不删除)得到的一个序列。

  • 例如,[2,5,10][1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

 

示例 1:

输入:nums = [2,4,6,8,10]
输出:7
解释:所有的等差子序列为:
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2:

输入:nums = [7,7,7,7,7]
输出:16
解释:数组中的任意子序列都是等差子序列。

 

提示:

  • 1  <= nums.length <= 1000
  • -231 <= nums[i] <= 231 - 1