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leetcode 1701 ~ 1750
鸡蛋掉落-两枚鸡蛋

鸡蛋掉落-两枚鸡蛋

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题目描述

代码结果

运行时间: 25 ms, 内存: 16.0 MB


/*
 * 题目思路:
 * 1. 使用流来简化动态规划的计算。
 * 2. 我们使用一个二维数组存储结果,并使用流来计算最小操作次数。
 */
import java.util.stream.IntStream;
public class EggDropStream {
    public int twoEggDrop(int n) {
        int[][] dp = new int[3][n + 1];
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[1][j] = j;
        }
        for (int i = 2; i <= 2; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                final int floors = j;
                dp[i][j] = IntStream.rangeClosed(1, j).map(x -> 1 + Math.max(dp[i - 1][x - 1], dp[i][floors - x])).min().orElse(j);
            }
        }
        return dp[2][n];
    }
}

解释

方法:

题解利用数学公式来解决这个问题。首先,设x是我们需要的最小操作次数,其中第一枚鸡蛋以一个确定的步长序列(如x, x-1, x-2, ..., 1)来丢。这样,每丢一次,我们能检查的楼层数累积为1到x的和,即x*(x+1)/2。因此,为了覆盖所有楼层,需要满足x*(x+1)/2 >= n。通过解这个不等式,我们能找到满足条件的最小x值。

时间复杂度:

O(1)

空间复杂度:

O(1)

代码细节讲解

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题解中提到的数学公式 x*(x+1)/2 >= n 是如何推导出来的,它代表了什么意义?
这个公式x*(x+1)/2是等差数列的求和公式,其中x代表了第一枚鸡蛋投掷的次数,且每次投掷的楼层高度递减(从x开始递减到1)。该公式的求和结果代表了在x次操作中最多能检查的楼层数。因此,这个公式的含义是,通过x次操作,最多能覆盖的楼层总数。要确保能检查所有楼层,就需要这个总数大于或等于楼的总层数n。
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在解决这个问题时,为什么选择从 x 层开始递减地扔鸡蛋,而不是其他递增或不规则的方式?
从x层开始递减地扔鸡蛋是为了最优化最坏情况下的投掷次数。如果从较高楼层开始,当第一个鸡蛋在较低的楼层破裂时,剩余的尝试次数和楼层数量能够更好地匹配,减少不必要的重复检查。递减方式可以在第一个鸡蛋破裂后,用第二个鸡蛋在较小的区间内逐层检查,从而更快找到临界楼层。递增或不规则方式会导致在第一个鸡蛋破裂后,可能剩下较多楼层需要逐一检查,从而增加总的尝试次数。
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题解中用到的数学方法中,math.sqrt函数是如何保证在所有情况下都能得到正确的最小x值?
math.sqrt函数用于计算方程x*(x+1)/2 >= n的正根。方程求解后形成的一元二次方程是x^2 + x - 2n = 0。使用求根公式得到x = (-1 + sqrt(1 + 8n))/2。这里sqrt函数计算的是1+8n的平方根,确保得到的x是实数。ceil函数确保x向上取整,因为x可能是非整数而楼层数必须是整数。因此,这种方法能在理论上保证找到满足条件的最小整数x。
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这种方法在所有可能的n的值上都有效吗,还是只适用于特定范围的n?
这种方法在任何正整数n的值上都是有效的。无论n的大小如何,x*(x+1)/2的形式能够覆盖从1层到任意高的楼层。由于每次增加x会让总楼层数以二次方的速度增长,因此对于任何给定的n,总能找到一个x使得x*(x+1)/2 >= n。这保证了算法的普适性和可靠性。

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